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GRUNDRISS DER GENERALISIERTEN GAUß’SCHEN FEHLERRECHNUNG

 

 

Michael Grabe

 

                                                                                                      Springer  Textbook, Physics, März 2011, 191 S. 36 Abb., ISBN 978-3-642-17821-4

 

Über dieses Buch ...

Die Generalisierte Gauß’sche Fehlerrechnung zielt auf  nicht weniger als die rigorose Neu­fassung der klassischen Gauß’schen Forma­lis­men. Die Erkenntnis, dass Messdaten im Allgemeinen jedenfalls nicht­­eli­mi­nierbare, nach Betrag und Vor­zeichen unbe­kannte syste­matische Fehler überlagert sind, besie­gelte den Zusam­men­bruch des Gauß’­schen Kon­zeptes.

Die Generalisierte Gauß’sche Fehlerrechnung interpretiert systema­tische Fehler als biaserzeugend. Konsequenterweise unter­scheiden sich die wahren Werte der Mess­größen von den Erwartungs­werten der Schätzer. Derartige zeitkon­stante Diffe­renzen haben  Messunsicher­heit­en zum Tragen zu bringen. Aber auch hinsichtlich der Verarbei­tung zu­fälliger Messfehler weicht der Autor von der konven­tionellen Vor­gehens­weise ab. Wie sich zeigen lässt, empfiehlt es sich, die  Fort­pflanzung zufälliger Messfehler auf die Ver­teil­ungsdichte der em­pi­­rischen Momente zweiter Ord­nung zu stützen.

Messunsicherheiten stellen sich als Summen Student’­scher Ver­trau­ens­be­reiche und Worst-Case- Abschätz­ungen gewisser auf syste­ma­tische Fehler zu­rück­gehender Terme dar.

Die Messunsicherheiten der Generalisierten Gauß’schen Fehler­rech­nung zeigen baukastenähnliche, robuste Strukturen, die, wie Daten­si­mu­lationen bele­gen, die wahren Werte physikalischer Größen „quasi­sicher“ lokalisieren.

 

INHALT

 

Teil I   PRINZIPIEN DER METROLOGIE

 

1. IDEEN DES MESSENS

1.1 Elementares

1.2 Messresultat und Messunsicherheit

1.3 Rückverfolgbarkeit – Rückschluss auf wahre Werte

1.4 Nicht-Gauß’sches Szenario

 

2.  FEHLERMODELLE

2.1 Stationäre Messprozesse

2.2 Zufällige Messfehler

2.3 Gauß’sches Fehlermodell

2.4 Unbekannte systematische Fehler

2.5 Generalisiertes Gauß’sches Fehlermodell

 

3.  QUANTIFIZIERUNG DES MESSPROZESSES

3.1 Standardabweichung

3.2 Messunsicherheit

3.3 Präzision und Genauigkeit

 

 

 

Teil II   WERKZEUGKASTEN

 

4.  THE NEW UNCERTAINTIES

4.1 Geometrie des Ausgleichs

4.2 Ausgleich ohne Nebenbedingungen

4.3 Ausgleich mit Nebenbedingungen

 

5.  ZUFALLSVARIABLE UND VERTEILUNGSDICHTEN

5.1 Zufallsvariable

5.2 Statistisches Ensemble

5.3 Empirische Verteilungsdichten

5.4 Theoretische Verteilungsdichten

 

6. NORMALVERTEILTE GRUNDGESAMTHEITEN

6.1 Normale Verteilungsdichten

6.2 Dichte des empirschen Momente zweiter Ordnung

6.3 Student’sche Dichte

6.4 Hotelling’sche Dichte

 

7.  ERWARTUNGSWERTE EMPIRISCHER SCHÄTZER

7.1 Einzelmessungen

7.2 Arithmetisches Mittel

7.3 Empirische Varianzen

7.4 Empirische Kovarianzen

 

 

 

Teil III   MESSUNSICHERHEITEN LINEARER UNF LINEARISIERTER SCHÄTZER

 

8.  VERKNÜPFEN VON MESSFEHLERN

8.1 Arithmetisches Mittel

8.2 Quasi-sicheres Schliessen

8.3 Funktion einer Variablen

 

9.  FORTPFLSANZEN VON MESSFEHLERN, ZWEI VARIABLE

9.1 Heuristischer Ansatz

9.2 Wohldefinierte Messbedingungen

9.3 Taylor’sche Entwicklung

9.4 Zufällige Fehler

9.5 Systematische Fehler

9.6 Gesamtunsicherheit

9.7 Robustes Schätzen

 

10.  FORTPFLSANZEN VON MESSFEHLERN, m VARIABLE

10.1 Heuristischer Ansatz

10.2 Messreihen und Datentupel

10.3 Reihenentwicklungen

10.4 Zufällige Messfehler

10.5 Systematische Fehler

10.6 Gesamtunsicherheit

10.7 Robustes Schätzen

 

11.  VERKETTETE VERKNÜPFUNGSFUNKTIONEN

11.1 Reihenentwicklungen

11.2 Gesamtunsicherheit

11.3 Empirische Pseudokovarianz

11.4 Nichteindeutigkeit des systematischen Fehlers

 

 

 

Teil IV   VERKNÜPFEN VON MITTELN

 

12. ZWEI MITTEL

12.1 Summe

12.2 Differenz

12.3 Produkt

12.4 Quotient

12.5 Klassischer Hypothesen-Test

 

13.  MITTELN VON MITTELN

13.1 Mittel zweier Mittel

13.2 Ungewichtetes Mittel von m Mitteln

13.3 Gewichtetes Mittel von m Mitteln

 

14.  Konsistenz_tests

14.1 Heuristisches Vorgehen

14.2 Formales Vorgehen

 

 

 

Teil V   LINEARE SYSTEME

 

15.  KONSEQUENZEN SYSTEMATISCHER FEHLER

15.1 Vorlast der Kleinste-Quadrate Schätzers

15.2 Minimierte Summe der Residuenquadrate

 

16.  UNGEWICHTETER AUSGLEICH

16.1 Empirische Varianz-Kovarianz Matrix der Eingangsdaten

16.2 Empirische Varianz-Kovarianz Matrix des Kleinste-Quadrate Schätzers

16.3 Fortpflanzung systematischer Fehler

16.4 Unsicherheit des Lösungsvektors

 

17. GEWICHTETER AUSGLEICH

17.1 Gauß-Markoff’sches Theorem

17.2 Gewichtsmatrizen

17.3 Numerisches Beispiel

 

18. Naturkonstanten der Physik

18.1 Ausgleich naturkonstanter Größen

18.2 Konsistenz versus Lokalisierung

 

 

 

Teil VI   AUSGLEICHSGERADEN

 

19  VORBEMERKUNGEN

19.1 Fallunterscheidungen

19.2 Wahre Gerade

 

20.  ANPASSEN VON GERADEN: FALL (i)

20.1 Voraussetzungen

20.2 Orthogonale Projektion

20.3 Unsicherheit der Eingangdaten

20.4 Unsicherheit der Komponenten des Lösungsvektors

20.5 Unsicherheitsband

20.6 EP-Bereich

 

21.  ANPASSEN VON GERADEN: FALL (ii)

21.1 Voraussetzungen

21.2 Orthogonale Projektion

21.3 Unsicherheit der Komponenten des Lösungsvektors

21.4 Unsicherheitsband

21.5 EP-Bereich

 

22.  ANPASSEN VON GERADEN: FALL (iii)

22.1 Voraussetzungen

22.2 Orthogonale Projektion

22.3 Reihenentwicklung des Lösungsvektors

22.4 Unsicherheit der Komponenten des Lösungsvektors

22.5 Unsicherheitsband

22.5 EP-Bereich

 

 

 

Teil VII   ANHÄNGE

 

A Runden nach DIN 1333

 

B Konfidenz-Ellipse

 

C Reihenentwicklungs des Lösungsvektors

 

D Extreme Points of Ellipses and Ellipsoids

 

E Skalentransformation

 

F Quantile der Hotelling’schen Dichte

 

 

Literatur

 

Sachverzeichnis

 

 

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